Funciones Principios de Graficación

Traslaciones en el plano cartesiano:

Horizontales

Ocurre una traslación Horizontal si la variable "X", es ese caso, se le esta haciendo directamente una suma o resta de una constante. A continuación los de color Rojo es la representación de una traslación Horizontal: 

Verticales

Mientras que en las traslaciones verticales ocurren cuando hay una suma o resta que esta afectando en su totalidad a la función. A continuación los números de color Azul representan la traslación vertical:

Comprensión y Expansión:

Decimos que es comprensión cuando tenemos una ecuación y que al momento de graficar nos de una clara diferencia de reducción ante la conocida inicialmente.

Mientras que alargamiento es el simple hecho que la gráfica sea en alguna manera una forma mas extensa que la que conocemos inicialmente.

Un claro ejemplo se muestran en estas tres imágenes, en donde la escala sobre los ejes cartesianos será las misma para los tres casos, para así aprovechar y observar detenidamente las diferencias.

Con el Eje Horizontal 

Tomando como ejemplo inicial a la imagen anterior, vemos que las gráficas cambian de acuerdo a los valores que se encuentran sobre el Eje X. Por lo tanto para ver Cuando ocurre un alargamiento o comprensión en una función, se debe deducir de cual es la constante que MULTIPLICA a mi variable "x" directamente, por lo tanto sabiendo el VALOR de dicha constante decimos si se comprime o alarga esa Función. Entonces tenemos un claro ejemplo con una función Potencia Básica, donde se deducen las respectivas condiciones, siendo "k" la constante que multiplica:

Como se observa, si a la función se le da el valor de Y=1 a los tres casos entonces obtendremos diferentes imágenes o valores en el eje X.

Para mayor apreciación, colocaremos las tres gráficas en un solo plano cartesiano con las condiciones dadas:

Con el Eje Vertical

Se asemeja a lo estudiado con el Eje Horizontal, pero aquí cambian dos cosa: la constante "k" debe multiplicar totalmente a la función, y ademas según su valor tendera a cambiar su comprensión o expansión. Para apreciar el cambio que genera, cambiaremos a una Función Radical. Tal y como se muestran en las gráficas será el cambio que generé esta constante, allí estarán las condiciones necesarias para que se cumplan los cambios:

Ahora para apreciar de mejor manera la diferencia de las gráficas según sus constantes:

Reflexiones

Como su nombre lo dice es la reflexión de una función de acuerdo a una recta, en estos casos las rectas "espejos", por así decirlo, serán nuestros ejes.

Con el Eje Horizontal

Sabremos si hay una reflexión Horizontal si hay un Signo negativo que multiplica a la función completamente, y crea una diferencia significativa al momento de una sumatoria algebraica en la función. Tal y como se muestra en la gráfica de una Función Radical.

Con el Eje Vertical

La diferencia de la reflexión con el eje Vertical, es que el signo negativo debe estar multiplicando directamente a la variable X, en la ecuación dada.

Matemática I: Tipos de Funciones.

Identificación de Funciones Básicas.

Existen distintos tipos de funciones a los cuales se les identifican con las siguientes explicaciones y ecuaciones de las funciones básicas.

Función Lineal:

Decimos que existe una función lineal si y solo si en el plano cartesiano existen rectas horizontales o con pendientes, las rectas verticales no son funciones ya que estas mismas no justifican el criterio de la recta vertical.

 La pendiente se identifica con letra "m", ésta ayuda a conocer qué tanto esta la recta inclinada. mientras que la letra "b" inicialmente es el corte con el eje Y. Mas adelante veremos PRINCIPIOS DE GRAFICACIÓN, los cuales nos ayudaran a graficar una función.

Función Cuadrática:

Esta representada por una ecuación normalmente con tres termino, en donde la variable independiente (la variable  X) esta elevado a un grado igual a 2, siendo este el de grado mayor. Su gráfica representa una parábola, este puede estar cóncava hacia abajo o cóncava hacia arriba (Principios de Graficación).

Función Potencia Pura:

Esta es semejante a la anterior pero su estudio aplica a exponentes pares o impares. En las gráficas se pueden observar la diferencia de cada una de ellas. Su ecuación es sencilla ya que solo aparecerá la variable afectada por una suma o resta (ver Principios de Graficación).

En los dos casos la "n" es un número natural y mayor que 1.

Función Racional:

Este tipo de función, es en donde la variable se encuentra en el denominador, ellos también dependen de su exponente. Se expresan de manera básica como se muestran a continuación:

En los dos casos la "n" es un número natural y mayor que 1.

Función Radical:

En esta Función la Variable X esta bajo el dominio de un exponente enésimo, como se muestran junto a las figuras:

Es en donde la variable X se encuentra en una raíz,

Función Exponencial:

Deducimos o reconocemos fácilmente que una Función es Exponencial si la variable X, se encuentra como un exponente, para deducir sus cortes es necesario conocer las propiedades en donde ella se relaciona con la logarítmica. Sus gráficas son las siguientes:

Función Logarítmica:

La función logarítmica es la inversa de la exponencial, usando propiedades en las cuales intervienen la participación de ellas, se pueden graficar mas sencillamente sus funciones, su grafican dependen de los valores de la base:

Función Valor Absoluto

Se constituye a partir de cualquier función antes mencionada, solo que al aplicar un valor absoluto a las funciones, hará que ellas solo posean imágenes en el eje Y con valores positivos, esto se refiere que al terminar de realizar la graficación correspondiente a la función dada, debemos reflejar sobre la recta horizontal del Eje X, todo imagen que se encuentre debajo de ella. Mostraremos un ejemplo de como cambiaría el valor absoluto una función.

Vídeo Función Cuadrática Parte 3

Video Función Cuadrática Parte 1

Vídeo Función Cuadrática Parte 2

Vídeo Teoría de Funciones Básicas

TEMA 1: Primer punto: Conceptos Básicos y Definición de Función

En las matemáticas, existen un plano el cual es el Cartesiano, este consta de dos rectas llamadas EJES DE COORDENADAS, que normalmente están relacionados a dos dimensiones: alto y largo.

Cada recta posee valores, los cuales pueden pertenecer a una infinita variedad de números, estos están divididos en agrupaciones y poseen su propio nombre.

NATURALES: son aquellos que inicialmente se conocieron, siendo estos números Positivos incluyendo el cero, como se muestra en la figura la secuencia debe seguir de igual manera. Solo debe llevar números pares e impares.

ENTEROS: es la  clasificación de los Naturales junto con sus opuestos (negativos). En donde el cero es usado como intermedio para la división de los negativos con los positivos.

RACIONALES: abarca los números Enteros, y adicionalmente aquellos numero fraccionarios que expresan en su forma decimal, periodos que cada cierta cantidad de decimales se repite y es justamente conocido.

REALES: se crea basándose en números que gracias a su composición es  difícil saber exactamente como se comporta, llamados Números Irracionales, estos junto con los Racionales forman el conjunto de Números Reales.

COMPLEJOS: este conjunto se inicia mediante una nueva escala de numero: los imaginarios. Es mas que todo usado para las cosas que no tienen un resultado concreto (en el tema de Funciones no se aplicara su uso).

¿Dominio y Rango?

En el plano cartesiano de la primera figura, sabemos que el cruce de dos rectas, llamadas ejes de coordenadas, existe un Origen, el punto inicial de donde parten todos los números hacia cuatro direcciones. Como se nota en la figura los valores que estén a la izquierda y debajo del punto de origen son valores negativos

Se debe entender por Dominio que: son aquellos valores en donde la gráfica posee una imagen referente a un punto de coordenada. Por lo tanto cualquier punto tomado en la recta del Eje X, serán valores predeterminados a ser el dominio de la gráfica.

Mientras el rango también se debe comportar de tal manera pero su eje debe estar ubicado con valores del eje vertical, sea cual sea la variable con la que se este trabajando.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN.

Llamamos "función" a los conjuntos de relaciones que pueden existir en determinados momentos, situaciones, valores, etc. Pueden ser variables re movibles, siempre y cuando estas dependan directamente bajo otra variable. En la Matemática, la función se relaciona de acuerdo al plano cartesiano, en donde tenemos un Eje Vertical denominado con la letra Y, y también tenemos un Eje Horizontal denominado con la letra X.

Existen variables en donde dependen de otra variable, estos siempre se encontrara en el eje de la Y, mientras que la variable que es independiente se encontrara en el eje Horizontal. 

Criterio de la Recta Vertical:

Para asegurar que una ecuación dada es Realmente una función se le debe aplicar cierto criterio, en donde su gráfica, convenientemente esta relacionada a un proceso de prueba, en el ejemplo se demuestra que la gráfica (color Negro), se aprueba que cumple con el criterio, ya a través de su proyección se pasan rectas horizontales (Verdes), y estas SOLO tocan una sola vez a la gráfica:

Esto establece que para cada valor que tome en el eje X se encontrara una SOLA imagen (Puntos). En la ecuación dada, también existe un proceso de verificación para justificar este hecho, en donde se reemplaza un valor determinado de X, para hallar el valor de Y, y en el resultado SOLO debemos llegar a tener UN solo valor.

EJEMPLOS.

En los dos siguientes ejemplos se deducirán si cumplen o no con el criterio de la recta vertical:

La gráfica de la función es:

Aplicándole el criterio a la gráfica directamente sabemos que no cumple. Y para justificar, decimos que para cualquier valor comprendido en el dominio de la función (valores en el eje "X"), existirán DOS valores de imagen para el eje Y

Mientras con esta siguiente ecuación:

La gráfica seria de la siguiente forma:

Aplicándole el criterio a la gráfica directamente sabemos que cumple. Por lo tanto para justificamos, que para cualquier valor comprendido en el dominio de la función (valores en el eje "X"), existirá UN SOLO valor de imagen para el eje Y.

Con este primer tema comenzamos Matemática I, y todo lo que tiene que ver con las Funciones, Tipos de Funciones, Graficación, Cortes con los Ejes, Dominio y Rango